Перенести базы данных mysql - это очень просто, для этого даже не обязательно использовать phpmyadmin.

Если Ваш хостер предоставляет Вам SSH доступ к серверу, то перенос mysql базы данных не займет у Вас более 10 минут.

На хостинге, с которого переезжаем, выполняем следующие действия:

1. Создаем дамп базы данных:

mysqldump --opt --add-locks --add-drop-table -u [логин] -p [имя_базы] > [имя_дампа].sql

2. Архивируем дамп базы данных для экономии времени и трафика:
tar -czvf [имя_дампа].tar.gz [имя_дампа].sql

3. Загружаем архив с дампом на новый хостинг, минуя его загрузку на локальный компьютер:

вводим в SSH комадну mc
После этого у Вас откроется файл-менеджер, переходим в директорию с архивом дампа, курсором мышки кликаем на "Right" в самом верхнем меню, выбираем "FTP Link".

В строке вводим данные для FTP доступа к новому хостинг-аккаунту в следующем формате:

login:user@ftp-host

например, vasya:cggfhj@192.111.0.1 или vasya:cggfhj@ftp.vasya.ru

После этого загружаем архив с дампом.

Но новом хостинге:

4. Разархивируем дамп базы на новом месте "жительства":
tar -xzvf [имя_дампа].tar.gz

5. Восстанавливаем базу данных из дампа:
mysql -u [логин] -p [пароль] -h [хост] --default-character-set=utf8 (или cp1251, в зависимости от кодировки дампа) [имя_базы] < [имя_дампа].sql
возможный вариант (уточнить у хостера)
mysql -u[логин] -p[пароль] -h[хост] --default-character-set=utf8 (или cp1251, в зависимости от кодировки дампа) [имя_базы] < [имя_дампа].sql