С чего начать регистрацию домена?

Во-первых, придумайте подходящее доменное имя для своего сайта и решите в какой зоне будет находиться Ваш домен.
Во-вторых, проверьте свободно ли выбранное доменное имя через сервис Имена.data-avenue.net или любой другой whois сервис.
В случае, если доменное имя свободно, просто заполните заявку.
Если домен, который Вы хотели занять, подумайте над альтернативным именем для своего сайта.

Сколько по времени занимает регистрация домена?

В зависимости от зоны, в которой Вы регестрируете свой домен. Домен начинает работать не сразу после регистрации, а только после обновления кеша коренных DNS-баз провайдеров, что может занимать до 24 часов.

Что такое продление доменов? Значит ли это, что через год я должен заплатить не только за следующий год обслуживания хостинга, но и за продление домена?

Вы абсолютно правильно думаете. Каждый год владелец доменного имени платит за продление своего домена.

На кого будет зарегестрирован мой домен?

Домен будет зарегестрирован на Вас, в информации к домену будут указаны те данные, которые Вы указали при оформлении заявки. Некоторые несовсем честные компании регистрируют домен на себя, а не на клиента.
Все Ваши домены ВСЕГДА регестрируются только на Вас.

Смогу ли я после регистрации управлять сам своим доменом?

Да. После регистрации домена мы вышлем Вам всю необходимую информацию для входа в панель управления доменом.
С помощью этой панели Вы в любой момент сможете поменять доменную информацию, в том числе изменять name servers для вашего домена.

Могу ли я зарегестрировать домен у другой компании, а пользоваться услугами хостинга у Вас?

Да, Вы можете зарегестрировать домен через другую компанию, указав в информации к домену наши ns - ns1.data-avenue.net и ns2.data-avenue.net.